校草制霸录 - 七十二、一决雌雄！（上）

    校草制霸录 作者:何事公

    七十二、一决雌雄！（上）

    说话间，被胡沛薇称为“沈老师”的中年男子拿出三张纸分发给大家：“题量不大，就6道题，关键是要动点脑筋。因为咱们是练手，所以没时间限制，做完为止。旁边有a4纸，要用自己拿。没什么问题的话，那就开始吧？”

    最初听沈老师说参考前几年的国际奥数题型，江水源心里就“咯噔”了一声，因为他翻过历届国际奥数真题，深知其中的诡谲玄奥。再听说只有6道题，他已经考虑是不是晚上就睡在这里了。果然，他看到第一道题就有些懵：“平面上给定100个点，无三点共线。求证：这些点构成的三角形中至多70%是锐角三角形。”

    再看第二道题：“在凸四边形abcd中，ab?cd=bc?da，点x在四边形abcd内部，且满足∠xab=∠xcd，∠xbc=∠xda。证明：∠bxa+∠dxc=180°。”

    第三题：“一个国际社团的成员来自6个国家，共有成员1978人，用1、2、3、4……1997、1998来编号。请证明：该社团至少有一个成员的顺序号数，与他的两个同胞的顺序号数之和相等，或者是一个同胞的顺序号数的2倍。”

    第四题：“n为给定正整数，s={（x，y，z）｜x，y，z ∈{0，1，2…，n}，x+y+z＞0}是三维空间中（n+1）^3-1个点的集合。视求其并集包含s但不含（0，0，0）的平面个数的最小值。”

    第五题……

    第六题……

    六道题分别涉及代数、几何、数论和组合数学四大类，难度都在中等以上——注意，是国际奥赛的中等，不是普通高中月考的中等。要知道中学数学教育界有时会把数学分为三类：初等数学，高等数学，以及介于初等数学和高等数学之间、以各类奥数题为代表的竞赛数学。竞赛数学除了具体知识较初等数学有所扩充外，更重要是体现在思维、方法上。

    直白一点说，就是脑袋瓜子要够聪明、够灵活！

    把六道题扫完后，江水源直接和葛大爷说道：“葛老师，帮我们订午饭吧！”

    葛大爷有些幸灾乐祸：“没问题，要不要晚饭也帮你一起订了？你这样磨磨蹭蹭，估计我还得再帮你订间房。”

    江水源侧过头看看，发现胡沛薇已在奋笔疾书，张谨则皱着眉头咬着笔杆在苦思冥想。他拿过一沓a4纸，也准备答题。

    刚才看过一遍题目，心里大致有数：6道题里面，有3道题思路相对清晰，比如第一题，看上去是几何题，其实是道组合数学题，要把平面上给定的点视为一个集合，把点构成的三角形再视为一个集合，构成的锐角三角形也视为一个集合，然后想办法来证明结论。再比如第二题，肯定是要用四点共圆和托勒密定理的。剩下的3道题里，有2道题隐隐约约有些想法，还有1道第四题则毫无头绪。

    这还是江水源获得手镯加持以来，第一次在考试中遇到毫无头绪的题目。难道胡沛薇平时就拿这种题目练手？还是说，湖广奥数已经强大到了这种地步？以前看武侠小说，总说行走江湖三种人不能惹，老人、小孩、女子，今天算是见识了。

    江水源摇摇头，把脑袋里的多余情绪全部清空，开始全身心投入到解题大业中。

    题目很难，而且变化曲折，感觉就像个磨人的小妖精，浑身上下散发着让人不由自主掉进坑里的坑爹气息，必须打起十二分精神来应付。

    一陷进去，就忘记了时间流逝。

    等到第三题刚开个头，就听葛大爷招呼道：“饭来了！先吃饭吧，磨刀不误砍柴工。”

    “没错。皇帝不差饿兵，吃饱了才有精力做题。”沈老师边说边摆开碗筷，顺便还传授考试秘诀：“不过考试时也不能吃得太饱，吃得太饱，血糖升高，人容易犯困，反而容易影响思考。所以吃个六分饱就最好，要是担心考场上饿了，可以随身准备几块巧克力，随时随地补充能量。”

    葛大爷瞪着江水源、张谨：“学着点，这都是宝贵经验！”

    “嗯！”张谨重重地点点头。

    江水源则是习惯性吐槽：既然是宝贵经验，为啥你之前不说？非得等别人提起，你才打蛇顺杆子上，莫非这就是传说中的“葛亮之所以为诸（猪）也”？

    葛大爷见江水源不说话，反而主动凑到边上，拿起江水源的答题纸看了起来：“你做出了几道？”

    江水源一边吃饭一边脑袋里还在高速运转，思考那道毫无头绪的第四题，根本没工夫和葛大爷斗智斗勇，直截了当地回答道：“两道。”

    “两道？很不错啊！”沈老师也凑了过来，“国际奥数是考两天，每天四个半小时、三道题。刚才我们从十点多开始考，到现在还不到两小时，小江就做出了两道题，这水平、这速度，进国家集训队都问题不大！——对了，沛薇，你做出了几道？”

    “也是两道。”胡沛薇不仅吃得专心，而且吃得优雅斯文，盒饭都能吃出米其林餐厅的范儿。

    葛大爷马上反驳：“不止吧？据我观察，小胡至少做出了三道——就算没有三道，第三道题也快出来了。呵呵，你就不要给他们留面子了，反正他们也不在乎。”

    不知是默认，还是秉承“食不言寝不语”的古训，胡沛薇没再说话，这让葛大爷逮着了发挥的机会，抖罗着手里的答题纸开始吐沫横飞：“平时不是挺能的吗？恨不得拳打莱布尼茨，脚踢拉格朗日，飞上天与欧拉、高斯肩并肩，怎么关键时候掉链子了？”

    张谨捧着饭盒满脸羞愧：“我、我、我才做出了一道……”

    江水源对葛大爷的冷嘲热讽早已达到“八风吹不动，稳坐紫金莲”的高超境界，此时听到他的讥诮，脑袋里却好像划过一道闪电，仿佛抓到解决第四题的某个关键，仔细寻思时却又不见踪迹。他皱着眉头下意识反问道：“你刚才说谁？”

    “说你怎么了？”

    “不是说我！”

    葛大爷笑了：“不是你，还能有谁？总不可能我说小胡的吧？”

    “不是，你说我拳打谁？脚踢谁？——哦，拉格朗日！”江水源瞬间找到了打开第四题的钥匙：先构造一个多项式，然后用差分法和拉格朗日中值定理进行做差证明，然后分情况讨论，得出结果。

    回过头来看这道题目，本质上是个代数问题，很容易就能发现最小值是3n，关键是如何证明。之前他曾想过用归纳法，然而实在太过复杂，能不能成功还在两可之间。现在用差分法，不仅思路巧妙，而且步骤简单，简直是神之一手！

    他立即扔下饭盒，拿过签字笔a4纸开始着手证明，唯恐稍一耽搁，灵感就不翼而飞。

    葛大爷看到江水源忽然文思泉涌、下笔如飞，有些心虚地向沈老师解释道：“这个、这个，我就是随口骂骂他，纯属无心之举。这个应该不算作弊吧？”

    沈老师也是无语：“应该不算吧？毕竟其他人也听到了，没见他们有什么反应。”

    葛大爷左右看了看，发现胡沛薇和张谨都是一头雾水，显然是没闹明白为什么拉格朗日会对江水源有启发。

    沈老师接着说道：“而且这几道题我都看过，没觉得那道题需要用拉格朗日中值定理或者四平方和定理啊！”

    “对、对、对，你这么一说我也想起来了，是好像没有用到拉格朗日定理的地方！这臭小子一惊一乍地干什么？”

    他们的讨论丝毫没有影响江水源的答题。十五分钟之后，江水源把笔一扔，端起快餐盒摸了摸，然后满意地点点头：“不错，饭还是温的！”

    七十二、一决雌雄！（上）